圆度误差测量

一.圆度仪主要功能
可快速测环形工件的圆度、表面波纹度（Wc、Wp、Wv、Wt、Wa、Wq、Swm）、谱分析、波高分析、、同心度、垂直度、同轴度、平行度、平面度、轴弯曲度、偏心、跳动量等。


二.圆度误差测量仪器很多，然而使用不同仪器会产生不同测量误差。本文介绍了用光学分度头测量圆度误差时所建立的数学模型，分析了各种误差对测量误差的影响，从而为在保证测量精度的同时降低测量成本提供了理论依据。

  1 圆度误差的测量

  1.1测量方法

圆度误差的评定方法有4种：*小包容区域法，*小外接圆法，*大内切圆法，*小二乘法。 由于*小二乘法简便易行， 长期以来甚为流行。测量圆度误差的方法虽有多种，但*为合理、用得*多的是半径法。为此，通过采用半径测量法在光学分度头上用千分表测量圆度误差，并对测量数据进行*小二乘法计算，以求得圆度误差值。

测量时， 将被测量工件顶在光学分度头的两**间， 将指示表置于被测量横截面上，测量其半径的变化量Δr，即利用光学分度头将被测圆周等分成n个测量点，当每转过一个θ=360°/n角时，从指示表上读出该点相对于某一半径R0的偏差值Δr，由此测得所有数据Δri。

  1.2建立数学模型

见图1，若实际被测表面的位置用极坐标(ri，θi)来表示，则
  ri=ecos(θi-α)+[(R+Δri)2-e2sin(θi-α)]1/2。．．．．．．．．．．(1)

  式中：i－－测点数，i=1，2，……，n；
    Δri－－半径偏差观察值；
     e－－*小二乘圆圆心O1(a,b)的偏移量，a=ecosα,b=esinα。



由于圆度误差精度测量的特点，在测量之前必须调整零件的回转轴线，使a,b之值较小，满足“小偏差假设”，并且零件的圆度误差和其半径相比是微量，称为“小误差情况”，于是式(1)近似为ri=e(θi-α)+R+Δri，因此根据*小二乘法原理有

  E2=∑ni=1Δr2i=∑ni=1〔ri-R-ecos(θi-α)〕2=min。      …(2)

  根据э(E2)／эR=0，э(E2)／эe=0，э(E2)／эα=0，可得

  ∑ni=1ri-nR-e∑ni=1cos(θi-α)=0
   ∑ni=1ricos(θi-α)-R∑ni=1cos(θi-α)-e∑ni=1cos2(θi-α)=0．．．．(3)
  ∑ni=1risin(θi-α)-R∑ni=1sin(θi-α)-e∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0。

  如果各测点均布圆周，且n充分大，则

  ∑ni=1cos(θi-α)=0,∑ni=1sin(θi-α)=0,
  ∑ni=1cos2(θi-α)=n／2,∑ni=1sin2(θi-α)=n／2,
  ∑ni=1cos(θi-α)sin(θi-α)=0,经简化计算，式(3)的解为

  a=2／n∑ni=1Δricosθi
   b=2n∑ni=1Δrisinθi
  Δr=1／n∑ni=1Δri
   R=R0+Δr。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4)
  于是，被测圆上各点到*小二乘圆之径向距离为εi=Δri-Δr-acosθi-bsinθi，则圆度误差为Δf0=εmax-εmin。

  2 误差分析

  2.1 量仪的回转精度引起的误差

回转轴线在回转过程中，对轴线平均位置的相对位移即为回转误差运动。误差运动使回转轴在每一瞬时发生轴向窜动和径向跳动，使被测工件一转内的采样点不全在一个横截面内，从而使各采样点间的相关性降低。但是，由于轴向窜动一般很小，而实际工件被测表面是平滑的，测头在被测表面采样时，也不可能是纯粹的点接触，而是小面积接触，因此轴向窜动对测量精度的影响可以忽略。

径向跳动误差将直接传递到采样数据Δri中，进而影响*小二乘圆心坐标的计算精度。由式(4)可得〔2〕da=db＜2d√nd(Δrmax)。因此，径线回转精度是圆度误差测量中极为重要的精度指标。对于光学分度头，是用**装夹工件，其回转精度则由**精度和被测工件**孔的形状精度共同决定。

  2.2 偏心e引起的误差

由于测量时的回转中心O与*小二乘圆的圆心O1不重合，存在偏心e=OO1，式(2)中Δri=ri-R-ecos(θi-α)是式(1)用R+Δri代替[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2(其中α=arctgb／a)得到的，所以e引起的误差为δe=R+Δri-[(R+Δri)2-e2sin2(θi-α)]1/2，把上式展开成Talor级数得δe=e2／2(R+Δri)sin2(θi-α)，因sin2(θi-α)≤1,且R+Δri≈ri，则δemax=e2/2ri。由于e是微米级，ri是毫米级，所以此项误差一般很小，可忽略。

  2.3 测头安装误差

测头安装误差示意见图2。当测头的位置不通过被测工件的轴线而偏离距离为Δ时，则相应的偏离角为：θ=arcsinΔR，若被测表面半径有增量Δr时，测头的实际位移为AB，其测量误差δθ=AB-Δr，因为Δr，AB＜＜R,∠ABO≈θ，则Δr=ABcos∠ABO≈ABcosθ，所以δθ≈Δrcosθ-Δr=(1／cosθ-1)=2sin2θ／2Δr。

由于θ角很小，用θ弧度值代替sin(θ/2)得δθ=AB-Δr≈2sin2(θ／2)Δr=θ2／2Δr。因此，测头安装误差很关键，尤其在测小直径时必须注意测头位置。通常应使θ≤10°，即e/R≤0.15，此时δθ≤2%。



  2.4 测点数对测量误差的影响

由于在轮廊上实测有限数量的点来代替被测实际轮廊的全貌， 在原理上就存在了误差。为了减少此误差，应合理选择测点数。用计算机对圆度谐波进行模拟，利用数值积分可以求出对应于一定谐波时各种测点的不确定度， 随测点数增加，测量不确定度下降。

  3 结论

综上所述，用*小二乘法计算圆度误差， 采用分度头测量时，仪器的回转精度、测头的安装误差及测点数是产生测量误差的主要因素。应尽量设法减少其影响，从而提高测量精度。